Хроматические числа

Райгородский А. М.

Задачу, обсуждаемую в этой брошюре, принято относить к разделу математики, называемому «комбинаторной геометрией». Само по себе название раздела уже носит, по-видимому, довольно интригующий характер. В самом деле, взятые в отдельности, слова «комбинаторика» и «геометрия» понятны многим. Однако их сочетание выглядит, быть может, немного неожиданно, и потому следует сперва пояснить, о чём идёт речь.
Очень трудно дать общее и вместе с тем исчерпывающее определение того, что представляет из себя та или иная область математики. За последние десятилетия математика ушла столь далеко
на пути абстракции и разделы её столь сильно переплелись между собой, что не всегда возможно чётко разграничить их. Поэтому мы не будем стремиться здесь к какой-либо всеобщности. Мы только ограничимся более или менее ёмкой формулировкой, а также приведём небольшую историческую справку, которая и будет призвана в максимальной мере прояснить ситуацию.
Итак, говоря предельно кратко, комбинаторная геометрия – это часть математики, изучающая различные вопросы, которые, с одной стороны, имеют совершенно геометрическую постановку (скажем, касаются взаимного расположения фигур и точек на плоскости), а с другой стороны, легко поддаются комбинаторной интерпретации. Термин «комбинаторная геометрия» восходит, вероятнее всего, к работам выдающегося специалиста в области соответствующих задач Гуго Хадвигера, и с этим именем мы ещё будем встречаться в дальнейшем. Конечно, термин появился, как это обыкновенно и бывает, позже задач, и классическими примерами последних являются: знаменитая проблема Борсука о разбиении множеств на части (1933), проблемы, связанные с так называемой теоремой Хелли (1913), задача освещения границы выпуклого тела (1957), задача о хроматических числах и др. Именно последнюю из перечисленных задач мы и обсудим в этой брошюре.
У задачи о хроматических числах, к формулировке которой мы перейдём лишь в следующей главе, авторов было несколько. Во-первых, ещё в начале сороковых годов XX века её поставили замечательные математики Гуго Хадвигер и Пол Эрдёш, во-вторых, независимо от Эрдёша и Хадвигера ей занимались приблизительно в то же время Е. Нелсон и Дж. Р. Исбелл. В сороковые годы шла Мировая война, и этим обстоятельством обусловлен тот факт, что поначалу хроматические числа не вызвали слишком бурного интереса. Потребовалось около 15 лет, чтобы положение изменилось кардинально: после работы Хадвигера 1961 года, посвящённой нерешённым задачам, хроматические числа стали активно изучаться, и за прошедшие с тех пор десятилетия соответствующая наука сделалась одной из самых популярных математических дисциплин в мире. Задачей Эрдёша—Хадвигера занимались многие известные математики, о ней написаны сотни прекрасных статей, имеются монографии, и всё же проблема столь нетривиальна и глубока, что и по сей день остаётся немало неисследованных вопросов, которые связаны с ней и которые, несомненно, поддаются изучению.
Размер файла 1694 килобайт, формат файла pdf.


Написать письмо Правила Размещение рекламы
При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
По всем вопросам обращайтесь к администрации сайта
www.megastock.ru
Проверить аттестат