Прогулки по замкнутым поверхностям

Смирнов С. Г.

Биологи привыкли делить историю жизни на Земле на три эры: палеозой (эру трилобитов), мезозой (эру динозавров) и кайнозой (эру млекопитающих животных). Всю историю математики тоже можно разделить на три эры. Античность (или научный палеозой) замечательна тем, что её учёные люди (Пифагор, Архимед, Цзу Чун-чжи и их коллеги в Элладе и Китае) хорошо знали целые числа и простые фигуры – вроде куба или параболы, но не ведали позиционной записи чисел. Научный мезозой начался в XVII веке – когда первый динозавр (Рене Декарт) ввёл на плоскости числовые координаты, записал уравнения несложных кривых линий и начал изучать графики функций путём их математического анализа. В XIX веке эта сфера знаний достигла совершенства: тогда первый млекопитающий (Георг Риман) применил все накопленные методы работы к изучению гладких многообразий. В течение кайнозоя (XX век) новая наука о многообразиях (алгебраическая топология, основанная – Анри Пуанкаре) объединила вокруг себя все прочие ветви математики в единое дерево – развесистое и обильно плодоносящее в наши дни. Самые простые многообразия имеют размерность 2 и называются замкнутыми поверхностями. Ими мы займёмся, начав с простого определения: замкнутой поверхностью называется любая ограниченная (компактная) фигура, около каждой своей точки устроенная так же, как обычная плоскость. Примеры замкнутых поверхностей знакомы всем – это сфера (поверхность шара – или колобка), тор (поверхность бублика) и крендель (с двумя или большим количеством дырок в тесте).
Изучение замкнутых поверхностей началось в XVIII веке с теоремы Эйлера: В−Р+Г=2 для всякого выпуклого многогранника. Но для невыпуклых многогранников выражение Х=В−Р+Г может принимать совсем другие значения. Приняв значение Х за численную характеристику поверхности, мы получаем её первый топологический инвариант: он позволяет доказать, например, что тор неэквивалентен кренделю. Но различить таким образом тор и бутылку Клейна неудаётся: нужен другой инвариант, выражающий ориентируемость поверхности. В конце XIX века Пуанкаре навёл алгебраический порядок среди всех замкнутых поверхностей. Одновременно Хивуд связал эйлерову характеристику χ с наименьшим числом цветов, необходимых для раскраски любой карты на данной поверхности. В XX веке геометры стали изучать поверхности с новой точки зрения: какие из них являются границами неких тел, и какие из них можно изобразить в пространстве без самопересечений. Пути решения этих проблем рассмотрены в брошюре.
Размер файла 586 килобайт, формат файла pdf.


Написать письмо Правила Размещение рекламы
При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
По всем вопросам обращайтесь к администрации сайта
www.megastock.ru
Проверить аттестат