Элементы геометрии треугольника

Мякишев А. Г.

Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем.Их пестрота и изобилие, с трудомподдающиеся какой-либо систематизации, не могут не восхищать. Впрочем, иной разэти благородные чувства перерастают в изумлённое раздражение, едва ли не в протест: если уж с виду такая «игрушечная» область геометрии настолько сложна, то в чём же вообще тогда можно разобраться?
Интересно попробовать понять, а почему тот или иной результат геометрии треугольника оказывает на нас большее или меньшее воздействие.
В грубом приближении ответ на этот вопрос следующий: красивая теорема в геометрии треугольника связана, как правило, с замечательными точками, прямыми или окружностями. Но прямая или окружность замечательна, если содержит какие-нибудь замечательные точки треугольника.Вточки эти, стало быть, всёи упирается.Однако как сравнивать степень их «замечательности» между собой? Очевидно, точка тем более замечательна, чем с более естественными и содержательными конфигурациями треугольника она взаимодействует. Поэтому в первый ряд следует поставить, конечно, таких заслуженных ветеранов, как M—точку пересечения медиан (центр тяжести), O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности, H—точку пересечения высот (ортоцентр). Не испортит общей картины и молодёжь: точка G Жергонна и точка N Нагеля.
С точками первого порядка связаны и первоклассные результаты — теоремы о прямой Эйлера, окружности девяти точек. Далее, точками второго порядка можно считать точки, являющиеся «производными» от точек первого порядка, т. е. полученные из них под действием какого-нибудь преобразования (к примеру, изотомического или изогонального сопряжения — эти преобразования мы ещё рассмотрим в дальнейшем) или как пересечение каких-нибудь замечательных линий первого порядка и т. д. Сюда можно отнести, в первую очередь, точку L Лемуана (точку пересечения прямых, симметричных медианам относительно соответствующихбиссектрис, такое преобразование и называется изогональным сопряжением), рис. 7, антиортоцентр треугольника Hm (точку пересечения прямых, проходящих черезточки, симметричные основаниям высот относительно соответствующих середин сторон, и противолежащие вершины, это преобразование называется изотомическим сопряжением), рис. 8, точку Im пересечения антибиссектрис (изотомически сопряжённую точке пересечения биссектрис), точки Gl и Nl (точки, изогонально сопряжённые точкамЖергонна и Нагеля). Точки третьего порядка определяются аналогично, как «производные» точек второго порядка и т. д.Понятно, что с ростом порядка количество точек стремительно растёт, впрочем, столь же стремительно проигрывая в качестве: чем больше порядок, тем геометрические связи между ними бледнее и невыразительней.
Размер файла 372 килобайт, формат файла pdf.


Написать письмо Правила Размещение рекламы
При любом использовании материалов сайта обязательна гиперссылка на сайт «Репетитор».
По всем вопросам обращайтесь к администрации сайта
www.megastock.ru
Проверить аттестат