ГЕометрический Минимум Абитуриента 1

ГЕМА

ГЕометрический

Минимум

Абитуриента.

Идея открыть данную рубрику появилась после общения с абитуриенткой, которой нужно было поступать в Темирязевскую Академию, но у неё были существенные пробелы по геометрии.

Будем рассматривать наиболее часто встречающиеся в геометрических задачах ЕГЭ и экзаменах во многие вузы, факты школьной математики, на примерах поучительных доказательств и задач.

В школе в последнее время уделяется совсем немного внимания геометрическим построениям. Постараемся восполнить и эти недостатки современного официального образования. Кому же это ещё делать, как не репетиторам!

Итак, мы с Вами открываем рубрику ГЕМА!

ГЕМА - 1

Некоторые свойства биссектрисы угла в треугольнике.

Сначала уточним определения.

ОПР-1. Биссектрисой угла называется луч, выходящий из его вершины и делящий его пополам;

ОПР-2. Биссектрисой угла в треугольнике называется отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с соответствующей точкой на противолежащей стороне.

Построим произвольный треугольник АВС с биссектрисой AD и введём следующие обозначения:

Рис. 1. Биссектриса угла в треугольнике.

Знаете, ли Вы, что:

Рассмотрим доказательства, в основе которых лежат простые дополнительные построения и признаки подобия треугольников.

Рис. 2. Первое дополнительное построение.

На луче СА, за точкой А, построим такую точку Е, что: АВ = АЕ. Тогда не сложно убедиться, что AD // BE. По теореме Фалеса:

Далее, рассмотрим подобные треугольники и сделаем нужные выводы:

Первые два свойства доказаны с помощью одного дополнительного построения. Дополним теперь к рисунку 2 ещё несколько фрагментов и опишем вокруг всего этого хозяйства окружность.

Рис. 3. Второе дополнительное построение.

Воспользуемся известным свойством пересекающихся хорд, которое легко доказывается через подобие треугольников. И доказательство третьего свойства не заставит себя долго ждать.

Таким образом доказано и третье свойство биссектрисы угла в треугольнике.

А заодно попрактиковались в составлении и решении систем уравнений.