ТЕМА. Дифференциальное уравнение для домохозяек.
Математический аппарат дифференциальных уравнений позволяет описывать явления и процессы различных областей природы и общества. Это одно из ярких проявлений универсальности законов математики в исследовании Вселенной.
Не будим, однако сейчас касаться глобальных тем, а разберём подробно исследование решения конкретной, одной вполне понятной, простой и доступной для широкого понимания задачи.
Эмпирически, то есть опытным путём, установлено, что скорость протекания многих физических процессов в прямую зависит от того, каково значение той или иной величины в данный момент времени. К примеру – темп изменения температуры тела в данный момент времени прямо пропорционален разности температур тела и окружающей среды. Если вдруг Вам понадобилось узнать, через сколько минут вода в Вашей кастрюле охладиться до 30 0 если 10 минут назад она ещё кипела, а сейчас имеет температуру только 700 а на кухне 200, то Вам, по – серьёзному, никак не обойтись без достаточно простых, но в тоже время именно дифференциальных уравнений. Вот так в принципе не навязчиво сформулирована достаточно серьёзная физическая проблема, доступная для исследования даже мало-мальски не ленивому школьнику. Мы с Вами рассмотрим решение этой задачи в общем виде. Это позволит Вам, затем решить любое количество аналогичных задач. Начнём с чёткой формулировки.
Тело в начальный момент времени t0 = 0 имело температуру Т0 , в момент времени t1 его температура была равна Т1 .Температура окружающей среды постоянна и рана Тс .Скорость изменения температуры в данный момент времени пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Найти закон изменения температуры тела со временем Т = Т (t). Построить график соответствующей зависимости.
Исследование проблемы начнём с составления дифференциального уравнения. Скорость изменения температуры есть первая производная температуры по времени:
.
Разность температур тела и окружающей среды в произвольный момент времени обозначим:
Коэффициент пропорциональности: k.
Тогда соответствующее дифференциальное уравнение принимает вид :
Это, как Вы понимаете, дифуравнение первого порядка с разделяющимися переменными. И решается оно методом разделения переменных, что полностью соответствует названию такого типа уравнений. Найдём его общее решение.
Мы получили общее решение исходного дифуравнения. Но решение ещё не окончено. Для определения параметров С1 и k , используем условия задачи, которые принято называть начальными условиями. Эти условия определяют физический смысл параметров, входящих в общее решение. Постоянная С1 находиться из начального условия Т (t0) = T( 0) = T0 .
Подставляя в общее решение вместо t число 0, а вместо T (t) значение Т0, получим:
Таким образом, постоянная С1 равна разности между начальной температурой тела и температурой окружающей среды. С учётом этого факта закон изменения температуры записывается в виде:
Остаётся выяснить значение параметра k. Это делается с использованием второго начального условия: T ( t1) = T1.
После всех преобразований окончательное решение записывается в виде:
Полученная формула позволяет решать задачи об охлаждении тела в среде с постоянной температурой, просто подставляя в неё начальные условия. Но, зачем же вычислять самому, если под рукой есть процессор EXCEL? К тому же решение можно сделать ёмким и наглядно-графическим. Рассмотрим снимки одной из версий.
На снимках EXCEL – версия решения рассмотренного выше дифуравнения, причём с начальными условиями именно той задачи о воде в Вашей кастрюле. На первом снимке видно, что массив переменной t формируется в столбце А, начиная с клетки А9 . Шаг изменения переменной t возьмём равным 1. И чтобы не мелочиться , сделаем протяжку маркером до значения около 400 мин. Массив значений функции T (t) cформирован в столбце В, начиная также с клетки № 9. Обратите внимание на строку формул. Она набрана в клетке В9 в соответствии с окончательной формулой, затем выполнена протяжка маклером на ту же дистанцию, что и переменная t . График построен по точкам с использованием стандартных программ МАСТЕРА ДИАГРАММ.
На втором снимке можно увидеть, что температура около 300 будет примерно на 44-й минуте от момента кипения. График наглядно показывает, что температура тела асимптотически приближается к температуре окружающей среды. Это полностью согласуется с формулами общего решения.
Всё что автор имел сообщить уважаемым читателям о решении, он сообщил. Вам теперь не составит особых затруднений выполнить при желании…
Задания для самостоятельного исследовательского поиска.
Задание № 1. Смоделируйте решение задачи об охлаждении тела в среде с линейно меняющейся со временем температурой.
Задание № 2. Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счёт трения, причём сила трения пропорциональна угловой скорости. Найдите закон изменения скорости со временем. Постройте график для случая, когда начальная скорость вращения равна 12 рад/с, а скорость через 10 с после начального момента равна 8 рад/с.
Задание №3. Цилиндрический сосуд высотой Н и площадью основания S имеет внизу отверстие, площадь которой равна s. Найдите время Т, за которое жидкость вытечет из сосуда ,если известно, что скорость вытекания жидкости выражается формулой :
где h – высота столбца жидкости над отверстием.