ЕГЭ, стереометрические задачи.
Практика подготовки абитуриентов в ВУЗы в этом году показывает, что в школе не достаточно внимания уделяется решению геометрических, и, в частности стереометрических задач. Мотивируют тем, что некоторые из них необязательны при выставлении итоговых баллов при сдаче ЕГЭ. В то же время такие задачи имеют место быть в списке вступительных экзаменов в престижнейшие университеты. Их развивающая роль в процессе подготовки неоценима.
Многочисленные учебные пособия лишь частично способны решить данную проблему, так как в них затруднительно печатать достаточно подробные решения. Цель моей статьи – показать ученикам и абитуриентам возможные направления поисков решений, доказательных рассуждений, рассмотрением проблемы под разными углами зрения, разложения сложной стереометрической задачи на ряд достаточно простых задач из планиметрии.
В основе методики – выполнение вспомогательных рисунков к отдельным фрагментам решения с максимальной точностью и наглядностью. На мой взгляд, давно пора отказаться от старого, стереотипного изречения о том, что в геометрии доказательство есть искусство правильных рассуждений на неправильном чертеже. Рассуждать, доказывать и искать путь правильного решения гораздо лучше именно на правильном и наглядном рисунке. И лучше всего это показать на конкретных примерах.
Задача №1 ( из С4 ). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1
B1C1D1 основание ABCD – прямоугольник со сторонами
AD = 12 и AB = 3. Высота параллелепипеда АА1 равна 7.
На рёбрах AD, DC и DD1 выбраны точки P, R и Q соответ-
ственно так, что P – середина AD, угол между прямой PQ и плоскостью ABCD равен 450. Длина отрезка CR равна 2.
Найдите объём тетраэдра B1PQR.
Рисунок по условию и основные идеи решения.
Пусть F – точка пересечения прямой BQ и плоскости нижнего основания. Тогда параллелепипеды B1PFR и QPFR имеют общее основание – треугольник PFR. Высоты этих параллелепипедов соответственно B1B и QD. Длины высот в принципе известны. Остаётся выяснить вопрос о вычислении площади треугольного основания. Ясно, что V(B1PQR) = V(B1PFR) – V(QPFR).
РЕКОМЕНДАЦИЯ. Нарисуйте отдельно прямоугольный треугольник FBB1 и конечно отрезок QD. Попробуйте выразить длину отрезка DF через длину диагонали BD прямоугольника ABCD. Затем изобразите отдельно чертёж нижнего основания с дополнительными построениями. Постарайтесь вычислить высоты треугольников RDF и PDF. Если Вы всё вычислите правильно, то оставшаяся часть решения – как говориться не вопрос! Но Вам никто не мешает просто прочитать, что написано дальше.
Рисунки, промежуточные и окончательные расчёты.
FM – высота треугольника RDF, FN – высота треугольника PDF.
FM = 6 AD = 72, FN = 6 CD = 18.
S ∆PRF = S ∆PDR + S ∆PDF + S ∆RDF = 0.5 ( 6*1 + 1*72 + 6*18) = 93.
V(B1PQR) = V(B1PFR) – V(QPFR) = 1/3* ( 7 – 6 ) * 93 = 31.
Вот и всё решение!
Для закрепления результатов интеллектуальной деятельности могу посоветовать самостоятельно решить следующую задачу, также из серии С4.
Задача №2 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD – квадрат со стороной 10. Высота параллелепипеда AA1 равна 17. На ребре DD1 выбрана точка P такая, что PD = 10, а на ребре C1D1 точка Q так, что C1Q = 3. Плоскость APQ пересекает отрезок B1C1 в точке R. Найдите объём тетраэдра CPQR.
Задача №3. (С4). Дана правильная треугольная пирамида. Центр основания пирамиды является вершиной второй правильной четырёхугольной пирамиды, основание которой вписано в боковую грань первой пирамиды. При этом, одна из сторон основания второй пирамиды лежит на стороне основания первой. Найти угол, под которым боковая грань пирамиды наклонена к плоскости её основания.
Чертёж по условию и идеи решения.
По теореме о трёх перпендикулярах и по определению перпендикулярности двух плоскостей, угол между основанием треугольной пирамиды АВС и основанием четырёхугольной пирамиды – квадратом MNPQ равен углу DKH. Введём обозначения:
AB = 2a, MN = 2x, DK = l.
Рассмотрим отдельно боковую грань ABD треугольной пирамиды. Выясним вопрос о том, как можно вписать квадрат в равнобедренный треугольник и о выражении стороны этого квадрата через основание и высоту треугольника.
Порядок построений:
1) Квадрат АВВ1А1 на стороне АВ;
2) P = [KB1] ∩ [BD] , Q = [KA1] ∩ [AD] ;
3) N, M – на основании АВ, PN ┴ AB , QM ┴ AB;
4) T = [PM] ∩ [DK], L = [PQ] ∩ [DK].
Ясно, что ТК = х.
Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник DHK и постараемся выразить косинус угла DKH двумя способами.
Задачи взяты из сборника: Математика. ЕГЭ – 2007. Учебно-тренировочные тесты. Ростов-на-Дону: Легион, 2007. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко.