Заочные подготовительные курсы по математике. Часть 2

Когда олимпиадная задача не только для олимпийцев.

Я всегда считал, что очень многие олимпиадные задачи по математике можно использовать на занятиях подготовительных курсов. И вот самый свежий пример из заданий Турнира Городов для 10 – 11 кл. осенний тур 2007 г.

           Дана прямая и две точки А и В, лежащие по одну сторону от этой прямой на равном расстоянии от нее. Как с помощью циркуля и линейки найти на прямой такую точку С,  что произведение АС*ВС будет наименьшим?

         В качестве данной  прямой естественно можно выбрать ось абсцисс. Тогда ось ординат строится как серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Это построение легко выполнимо с помощью циркуля и линейки. В полученной таким образом системе, выразим  координаты точек А, В и С. Ясно, что точки А и В будут иметь абсциссы отличающиеся только знаком и равные ординаты. Поэтому пусть А(-m; n), B(m; n). Так как точка С(х; 0) принадлежит оси абсцисс, то её ордината равна нулю.

Далее:

Для упрощения решения заменим произведение расстояний произведением квадратов этих расстояний. Составим функцию и найдём, когда равна нулю её производная:

То есть, получается, что при n ≥ m, х = 0, тогда точка С совпадает с точкой О. Более интересный случай, когда n < m. Тогда, из соображения симметрии, получаем два решения, то есть две точки пересечения окружности с центром в точке F(0;n) и радиусом R = m с осью абсцисс. Надеюсь, читателям не составит особого труда убедиться в этом выводе, внимательно изучив следующий рисунок.

Таким образом, в решении данной задачи, рассматриваются следующие моменты, важные для абитуриентов:

·       Перевод  условия задачи на язык аналитической геометрии;

·       Конструирование и исследование функции;

·       Геометрическая интерпретация результатов аналитического исследования;

·       Построения с помощью циркуля и линейки.

То есть данная задача вполне может быть использована при изучении и повторении соответствующих тем на подготовительных курсах.