Задание № 1. Диагональ BD делит пятиугольник ABCDE на ромб ABDE и равносторонний треугольник BCD. Найти угол АСЕ. (Зональный тур краевой олимпиады 1991 г. 9 кл).
Рисунок по условию задачи.
Следует сразу обратить внимание на то, что пятиугольник ABCDE вовсе не обязан быть выпуклым, так как ромб ABDE может менять свою форму, в отличие от треугольника. По условию следует, что величина угла АСЕ не зависит от формы ромба. Поэтому числовой ответ можно получить, рассмотрев любой удобный частный случай. Например, если ромб станет квадратом, то достаточно просто выяснить, что угол АСЕ равен 300. Это, конечно, не есть полное безупречное решение, но оно имеет право на жизнь, как один из законных этапов поиска. К тому же на любой олимпиаде за такое решение обязательно начисляются какие-то баллы, пусть даже и минимальные. А с точки зрения тестированных заданий, данное решение и вовсе идеально, так как быстро даёт правильный ответ. Но правильный ответ и правильное решение далеко не всегда тождественны. Ещё быстрее ответ получится когда ромб выродиться в отрезок ВЕ, тогда токи А и D совпадут. Найдутся скептики-педанты, которые тут же раскритикуют такой частный случай, сказав, что отрезок не является ромбом. Но тогда теряется вся красота динамичного решения с обобщением на все возможные ситуации. Тогда теряется существенная часть развивающей составляющей решения. Рассмотрение частных случаев с последующим обобщением, является решением в духе истинных участников олимпиад. Кроме того, точно известный ответ даёт мощный психологический стимул дальнейшего поиска.
Конечно самое главное – увидеть конструктивную идею. Она может возникнуть из перебора различных известных математических фактов. Но этот перебор должен быть осмысленным, целенаправленным. В данном случае я, возможно, рассуждал так:
· Равные векторы совмещаются параллельным переносом;
· Равные векторы можно построить на противоположных сторонах ромба;
· Можно попробовать выразить стороны угла АСЕ через сумму некоторых векторов.
Ключевая идея состоит в замене двух равных векторов одним, причем с началом в вершине С! Восклицательным знаком в шахматах обозначают очень сильный ход. В практике поисков решений есть приём, называемый: «То же самое, но иначе». Предлагаемая идея позволяет увидеть данную задачу по другим углом зрения.
Остаётся заметить, что точки В, D и F лежат на окружности с центром С и радиусом, равным модулю каждого из рассматриваемых векторов, эти модули очевидно равны. Но тогда вписанный угол BFD равен половине соответствующего центрального угла BCD, который равен 600 как угол равностороннего треугольника. Ответ: 300.
Для лучшего понимания геометрической и динамической сущности данной задачи, можно ознакомиться с интерактивной компьютерной моделью её условия. Тогда можно будет сформулировать и более общее задание:
Задание № 2. Пять точек A, B, C, D, E расположены на плоскости так, что образуют равносторонний треугольник BCD и ромб ABDE. Чему может быть равен угол АСЕ?
Интерактивная модель задачи.
Для лучшего усвоения учебно-методических идей, рассмотренных в данной задаче, могу предложить для самостоятельного исследования следующую подборку.
Задание № 3. На стене висят двое правильно идущих совершенно одинаковых часов. Одни показывают московское время, другие – местное. Минимальное расстояние между концами часовых стрелок этих часов равно m, максимальное равно М. Найдите расстояние между центрами часов. (12-й Турнир Городов, осенний тур, 10-11 кл.)
Задание № 4. Окружность с центром в начале координат О проходит через точки А(4;3) и В(-3;4). Найдите на окружности такую точку М, чтобы вектор 
имел наибольшую длину. («Юный техник» № 12, 1983 г. Одна из задач вступительного экзамена в ЗФТШ).
Задача № 5. Даны два полукруга (см. рисунок) и AB параллельна CD, АВ = 24 см. Чему равна площадь зарисованной части? (Из серии «Квант для младших школьников»).
Задание № 6. Докажите равенство двух углов, показанных на рисунке. (Из серии «Квант для младших школьников»).
