Хочу предложить вниманию читателей решение одного задания, которое, как мне кажется, будет полезно абитуриентам и в плане тренировки геометрической интерпретации аналитических соотношений, и в применении тождественных преобразований.
Дело было в ноябре 1991 года. Я вёл в Армавирской сш № 1 факультатив по программе ВЗМШ (Всесоюзная Заочная Математическая Школа). В конце изучения темы «Координатный метод» организаторы предложили следующее шуточное задание:
На последок, шутки ради, Вы попробуйте в тетради постараться разобрать, как сумели мы задать « точку, точку, запятую, минус – рожицу смешную»:
То есть требуется построить график данного уравнения и посмотреть, что из этого получится. Поначалу, конечно шокирует обилие модульных и прочих скобок. Начнём разбираться спокойно, начиная с наиболее очевидного. Будим приравнивать к нулю каждую из круглых скобок в отдельности. Уравнение:
является, очевидно, уравнением окружности с центром M(0;1) и радиусом R=4. Уже ясно, что, скорее всего, именно оно и описывает овал «рожицы смешной». Приравняем к нулю следующую скобку:
Так как нулю равна сумма двух модулей, то нулю равен и каждый из этих модулей, а, следовательно, и каждое из выражений, стоящих под знаком модуля. Далее, имеем:
В последней системе «зашифрованы» пара точек с координатами: (-2;3) и (2; 3). Почему? Замените фигурную скобку союзом «и», а квадратную скобку - союзом «или» и перепишите последнюю систему в виде:
Эти две точки будут изображать глазки искомой рожицы. Не хватает ещё носика и ротика. Возможно, они зашифрованы в оставшихся круглых модульных скобках. Дальше будет чуть сложнее, но не смертельно.
Сейчас – самое время пояснить смысл квадратных скобок. Они в данном случае обозначают целую часть числа: целая часть числа – есть наибольшее целое число, не превосходящее этого числа. Примеры:
По-русски: если целая часть некоторого числа равна нулю, то число заключено в пределах от нуля, до единицы. Это и используем в дальнейших преобразованиях:
Последняя система описывает открытый отрезок на оси y от точки (0;1) до точки (0;3). Это и есть что-то типа носика. Остаётся расшифровать «ротик»:
Последняя система описывает открытый отрезок на оси x от точки (-1;0) до точки (1;0) , ну чем не «ротик». В результате получаем график:
Мне настолько понравилось это задание, что решил попробовать сочинить что-либо подобное. И вот что получилось:
Кто построить сможет с блеском треугольник из отрезков, пару точек и квадрат – тот поступит на МЕХМАТ!!! Ну, а если более серьёзно, постройте график уравнения: