Пример фантастической наблюдательности.
Была весна 1996 года. Убедительную конкуренцию Турниру Городов составляли Соросовские Олимпиады. Кроме того, были ещё достаточно популярны Математические бои. Одиннадцатиклассников обычно уже не привлекают ни на какие соревнования. У них в это время и без того масса забот по выпускным и вступительным экзаменам. Так что участие трёх учеников, имена которых я назову позднее, в Весеннем Туре 17-го Турнира Городов было сугубо добровольным. Ребята выглядели уставшими после многочисленных олимпиад последнего учебного года. Они уже внесли свой весомый вклад в славную историю Математической школы при гимназии № 1. Во время перерыва им разрешили зайти в спортивный зал снять напряжения мыслительной деятельности. Я спросил их, как успехи? Они пообещали, что напоследок, специально для меня, обязательно найдут красивое решение хотя бы одного задания. И с честью сдержали слово!
Задача. Рассмотрим произведение ста сомножителей: 1!;2!;3!;…100!. Можно ли выбросить один из этих сомножителей, чтобы произведение оставшихся было полным квадратом? (Через n! обозначается произведение 1*2*3*… n; 1!=1).
Приведу без особых комментарий решение, которое предложили ученики 11 класса: Проскуров Евгений, Ложков Эдуард и Литвинов Юрий. Решение, которое лично меня восхищает уже более 10 лет! Решение, которое хотя и является коллективным (что против правил всех олимпиад), но которое всё же стало красивым завершением школьных математических выступлений этих ребят! Решение, которым мог бы гордиться любой учитель, нашедший его самостоятельно. И ведь в нём, всего-то навсего нужно было усмотреть одну простую закономерность!
Очевидно, что всё произведение можно представить в следующем виде:
И ясно, что если теперь выбросить 50!, то оставшееся произведение является полным квадратом.