Что может быть интересного в арифметической прогрессии?!
В принципе, к данному заголовку вполне можно добавить вопрос о том, а что же собственно следует считать нестандартной задачей? Только ли те задачи, которые предлагают на олимпиадах? На мой взгляд, следующая задача из материалов подготовительных курсов в Таганрогский радиотехнический университет (примерно 1995 г.), вполне подходит под ранг нестандартной олимпиадной. Мнение конечно спорное, но, считаю, что задача стоит подробного рассмотрения. Это следует сделать хотя бы потому, что ничего аналогичного я больше просто не встречал!
Известно, что в арифметической прогрессии Sm = Sn , m ≠ n , найти Sm + n .
Самый первый, самый детский вопрос: «А разве такое бывает?!». Я свой поиск начинал так:
Что-то меня в этом выводе сразу не устроило, хотя ясно, что выбора формул для рассуждений в общем особого нет. Затем решил попробовать составить хотя бы один частный пример: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….
Что-то снова не понравилось (видно ещё плохо думал). А потом всё-таки «решился» на ещё один частный пример, и даже оформил его в виде таблицы (и не лень же было чертить!):
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
an | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | - 4 | -5 | -6 |
Sn | 3 | 5 | 6 | 6 | 5 | 3 | 0 | - 4 | -9 | -15 |
Если верить записям в дневнике тринадцатилетней данности, то в этом месте я воскликнул: «Бог ты мой! Да вон их даже сколько!!!».
”Вот это уже классно!” – весело подумал я. Эти интересные наблюдения, безусловно, дали очень много в плане поиска. Стало казаться, что окончательное решение уже очень близко и вот вот будет найдено. Но, как ни странно, поиск несколько затянулся. Далее сделал следующие записи:
И даже, совсем не понятно зачем, написал:
S6 = S1 + a2 + … + a6 .
Потом была мысль, что таким свойством могут обладать не только убывающие прогрессии. Записал ещё один чаcтный пример:
Закономерность подтвердилась: S1 = S2 = - 4 , S3 = 0.
Затем, зачем-то попытался представить сумму в следующем виде:
На этом и завершился поисковый марафон первого дня. Я решил использовать эту задачу в качестве “снотворного” и действительно спал как убитый! На следующий день начал всё с самого начала и, записав ещё одну “непродуктивную” формулу:
решил просто бросить эту задачу!
В психологии поиска бывают такие критические моменты, когда кажется, что сумма потраченного времени уже не компенсируется никакой радостью от нахождения верного решения. И очень часто нужная идея приходит в голову именно в эти мгновения!
В качестве “утешения” решил осуществить ещё одну из своих вчерашних идей: построить пример прогрессии с заранее заданным равенством конкретных сумм. Пусть S3 = S5 . Тогда:
Построение именно этого частного примера принесло озаряющую идею, которая на полях дневника изобразилась красной молнией! Когда стал записывать в таблицу результаты вычислений, практически всё уже было ясно!
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
an | -7 | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
Sn | -7 | -12 | -15 | -16 | -15 | -12 | -7 | 0 |
Ну да, всё ведь ясно! Стоило ли терять почти сутки!? Дальнейшие записи пошли как по маслу:
И промелькнула последняя мысль: окончательная запись решения сама по себе никак не может отразить всех изюминок поиска! Она – лишь его закономерный синтез!
P.S. Сейчас, спустя тринадцать лет, чувствую, что данная задача имеет ещё одно, более красивое решение, основанное на некой внутренней симметричной структуре. Какое-то непонятное интуитивное ощущение. Но я так много уже уделил внимания этой задаче, что буду рад, если более красивое решение найдёт кто-нибудь из читателей!