Примеры графической интерпретации решений заданий с параметром.

Многие задачи с параметром составляются на основе исследования свойств графиков достаточно известных и простых уравнений таких геометрических фигур, как: прямая, окружность, парабола, синусоида, квадрат, ломаная линия, угол. Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра, то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат. Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения  зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть исследования заключается в определении числа точек пересечения графиков построенных уравнений, а значит в определении количества возможных решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра.  Для усложнения заданий эти уравнения искусственно преобразуют, камуфлируют. Дополнительная сложность возникает при поиске чисто аналитического метода решения. На то и рассчитывают  авторы подобных заданий. Ведь если заранее дать указания по геометрической интерпретации, то решения становятся абсолютно наглядными, естественными и достаточно простыми. Таким образом, преимущество на экзамене получают те из абитуриентов, кто владеет незаурядным аналитическим и образно-геометрическим мышлением. Похвальная развивающая составляющая таких заданий в сочетании в одной задаче и алгебраических преобразований и геометрических построений и рассуждений. Правда существует опасность, когда абитуриенты, почувствовавшие вкус к поиску очень красивых графических решений, престают искать чисто аналитические варианты. В таком случае, их просто следует предупредить о том, что, к сожалению, пока далеко не все задания с параметром предполагают применение геометрической интерпретации, а только задания очень высокого учебно-методического и развивающего уровня.  Тем не менее, изучение соответствующих примеров очень полезно. Рассмотрим подробно два из них.

Задание №1. Найдите все значения параметра а при которых уравнение:
 имеет два решения.

Первая идея – выделить полный квадрат относительно параметра а:

 
Следующая идея не столь очевидная, но абсолютно естественная – выделить полный квадрат относительно модуля х. Тогда не будет необходимости в раскрытии модульных скобок.

 
Первая часть решения завершена. Мы пришли к тому, что левая часть уравнения зависит от параметра, а правая не зависит. Далее предстоит  исследование на число точек пересечения графиков уравнений:

 
Преобразуем второе уравнение:

.

То есть второе уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом равным 3. Эта окружность не зависит от параметра и не меняет своего положения в процессе исследования. Более интересным в этом отношении является  график первого уравнения, вернее целое семейство графиков. Параметр а придаёт этому уравнению динамичность перемещения относительно координатных осей и изменчивость формы графика от прямого угла до ломаной линии с прямыми углами. А именно, при  а – 5 ≥ 0  график первого уравнения имеет вид:
Рис. 1

При  а – 5 < 0  график преобразуется в ломаную линию следующего вида:
Рис. 2

Исследуем графически решение системы:

Тогда система и исходное уравнение имеют два решения.
Рис. 3

Теперь исследуем эту же систему при  a – 5 < 0. В этом случае два решения возможны когда: -3 < a – 5 < 0, то есть для значений параметра в пределах 2 < a < 5.
Графически эти решения получаются следующим образом:

Рис. 4

При a – 5 = -3 то есть при a = 2 уравнение     имеет три корня. При a < 2 уравнение имеет четыре решения до тех пор, пока графики окружности и ломаной имеют четыре общие точки. Но наступит момент, когда соответствующие секущие станут касательными, и тогда уравнение снова будет иметь только два решения.

Рис. 5

В этом случае:
 

Объединяя все полученные решения, имеем:
 

Формулировка следующего задания очень похожа на только что решённое, но метод решения совершенно иной и аналогия здесь просто не работает.

Задание №2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых меньший корень уравнения меньше 5.

Выразим координаты вершин M(m;n) парабол

(Каждому конкретному значению параметра а соответствует определённая парабола).
 
Как видно, обе координаты вершин парабол линейно зависят от параметра а. Это означает, что все возможные вершины рассматриваемых парабол принадлежат некоторой прямой. Фактически уже задано так называемое параметрическое уравнение этой прямой. Для получения уравнения в координатной плоскости  xOy остаётся переобозначить переменные, и исключить из уравнений координат  параметр а.
 
Получили уравнение прямой, на которой лежат вершины всех парабол, отвечающих уравнению: 

График любой из этих парабол можно получить параллельным переносом параболы

на вектор с началом  в начале координат и с концом  на графике прямой 

Так как  2 > 0, то ветви всех парабол направлены вверх. Следовательно, при n ≥ 0 уравнение либо имеет один действительный корень, либо ни одного. Тогда значения параметра а , удовлетворяющие условию задания, можно найти, вычислив координаты  вершины  такой параболы, левая ветвь которой проходит через точку А (5;0).

Рис. 6

При m = -2,5 , тогда:
 

Найдём значение параметра а, соответствующего параболе, левая ветвь которой проходит через точку (5;0).
 

Таким образом, при -0,5 < a <  4 вершины парабол находятся ниже оси абсцисс и меньший корень исходного уравнения меньше 5.

Обе задачи легко и наглядно иллюстрируются интерактивными моделями на процессоре EXCEL, что позволяет увидеть в динамике изменение взаимного расположения графиков и лучше понять геометрический смысл решения.

Рис. 7. Интерактивная модель первой задачи.

Рис. 8. Интерактивная модель второй задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лысенко Ф.Ф., Калашников В.Ю., и др. Математика. ЕГЭ. Учебно-тренировочные тесты. Ростов-на Дону: Легион, 2007. 176 с.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Алгебраический тренажёр. Пособие для школьников и абитуриентов. – М.: Илекса, 2003. – 320 с.
3. Шеховцов В.А. Математика для абитуриентов и студентов. Учебно-методическое пособие. – Новокубанск,  НФ Куб ГАУ, 2003. 123 с.