Практикум

Будем рассматривать наиболее часто встречающиеся в геометрических задачах ЕГЭ и экзаменах во многие вузы, факты школьной математики, на примерах поучительных доказательств и задач. В школе в последнее время уделяется совсем немного внимания геометрическим построениям. Постараемся восполнить и эти недостатки современного официального образования. Кому же это ещё делать, как не репетиторам!

Математический аппарат дифференциальных уравнений позволяет описывать явления и процессы различных областей природы и общества. Разберём подробно исследование решения конкретной, одной вполне понятной, простой и доступной для широкого понимания задачи.

Когда олимпиадная задача не только для олимпийцев. Я всегда считал, что очень многие олимпиадные задачи по математике можно использовать на занятиях подготовительных курсов. И вот самый свежий пример из заданий Турнира Городов для 10 – 11 кл. осенний тур 2007 г.

Что может быть интересного в арифметической прогрессии?! В принципе, к данному заголовку вполне можно добавить вопрос о том, а что же собственно следует считать нестандартной задачей? Только ли те задачи, которые предлагают на олимпиадах? На мой взгляд, следующая задача из материалов подготовительных курсов в Таганрогский радиотехнический университет, вполне подходит под ранг нестандартной олимпиадной.

ЕГЭ, стереометрические задачи. Практика подготовки абитуриентов в ВУЗы в этом году показывает, что в школе не достаточно внимания уделяется решению геометрических, и, в частности стереометрических задач. Мотивируют тем, что некоторые из них необязательны при выставлении итоговых баллов при сдаче ЕГЭ. В то же время такие задачи имеют место быть в списке вступительных экзаменов в престижнейшие университеты.

Задача. Рассмотрим произведение ста сомножителей: 1!;2!;3!;…100!. Можно ли выбросить один из этих сомножителей, чтобы произведение оставшихся было полным квадратом? (Через n! обозначается произведение 1*2*3*… n; 1!=1).

Задача. Составить такие четыре тройки целых неотрицательных чисел, что любое число от 1 до 81 можно представить в виде суммы четырёх чисел, взятых по одной из каждой тройки.

Решение задания, которое будет полезно абитуриентам в плане тренировки геометрической интерпретации аналитических соотношений и в применении тождественных преобразований.

Самые яркие «хитовые» задачи из различных олимпиад. Интересный и полезный математический практикум.

Многие задачи с параметром составляются на основе исследования свойств графиков достаточно известных и простых уравнений таких геометрических фигур, как: прямая, окружность, парабола, синусоида, квадрат, ломаная линия, угол. Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра, то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат. Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть исследования заключается в определении числа точек пересечения графиков построенных уравнений, а значит в определении количества возможных решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра. Для усложнения заданий эти уравнения искусственно преобразуют, камуфлируют. Дополнительная сложность возникает при поиске чисто аналитического метода решения. На то и рассчитывают авторы подобных заданий.